关于具有单一内部格点的格点单纯形的大小

设 $\mathcal{T}^d(1)$ 为 $\real^d$ 中所有具有整数顶点且在 $T$ 内部有单一整数点的 $d$ 维单纯形 $T$ 的集合。由 Hensley 的结果可得，在保持 $\mathbb{Z}^d$ 不变的仿射变换下，$\mathcal{T}^d(1)$ 是有限的。已知当 $d$ 增大时，单纯形 $T \in \cT^d(1)$ 的最大体积变得极大。我们改进并细化了 $T \in \mathcal{T}^d(1)$ 的大小的界（此处的“大小”指体积或格点数）。结果表明，每个 $T \in \mathcal{T}^d(1)$ 都可以分解为面的大小“不太大”的升链。更准确地说，如果 $T \in \mathcal{T}^d(1)$，则存在 $T$ 的面 $G_1 \subseteq ... \subseteq G_d=T$，使得对于每个 $i \in \{1,...,d\}$，$G_i$ 是 $i$ 维的，且 $G_i$ 的大小以关于 $i$ 和 $d$ 的函数为上界。$G_i$ 大小的上界是关于 $i$ 的双指数。所提出的上界在对数-对数尺度上是渐近紧的。