非空心单形的覆盖半径与离散表面积

我们探讨非空心格 polytope 的覆盖半径的上界。特别地，我们猜想在维数 $d$ 中一般上界为 $d/2$，由“标准终端单形”及其直和达到。我们将此猜想证明至三维，并表明其等价于 González-Merino 与 Schymura (2017) 的猜想：对每个 $n>d$，标准终端 $n$-单形的第 $d$ 覆盖最小值等于 $d/2$。我们还表明，这两个猜想将可由 Hadwiger 公式的格单形离散类比推出，该公式以表面积与体积之比界定凸体的覆盖半径。为此，我们引入非空心单形的离散表面积新概念。我们证明了二维下的离散类比，并给出其在任意维数下成立的有力证据。