小 RCD(K,N) 空间的拓扑刚性及其最大秩情况

对于 polycyclic 群 $\Lambda$，定义其秩 $\text{rank}(\Lambda)$ 为其 polycyclic 分解中 $\mathbb{Z}$ 因子的个数。对于有限生成群 $G$，其秩 $\text{rank}(G)$ 定义为在其有限指数 polycyclic 子群 $\Lambda \leq G$ 中，$\text{rank}(\Lambda)$ 的下确界。对于直径小于等于 $\varepsilon(K,N)$ 的紧致 $\text{RCD}(K,N)$ 空间 $(X,\mathsf{d}, \mathfrak{m})$，其基本群 $\pi_1(X)$ 的秩至多为 $N$。我们证明当相等时，$X$ 与 infranilmanifold 同胚，从而将Kapovitch--Wilking的某些结果推广到非光滑情形。