关于 RCD 空间的基本群

我们得到了关于 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间基本群的结果，这些结果此前仅在光滑性或截面曲率下界等附加条件下已知。对固定的 $K \in \mathbb{R}$、$N \in [1,\infty )$、$D > 0$，我们证明如下： $\bullet$ 存在 $C>0$，使得对每个直径 $\leq D$ 的 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间 $X$，其基本群 $\pi_1(X)$ 由至多 $C$ 个元素生成。 $\bullet$ 存在 $\tilde{D}>0$，使得对每个直径 $\leq D$ 且万有覆盖 $\tilde{X}$ 紧的 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间 $X$，有 diam$(\tilde{X})\leq \tilde{D}$。 $\bullet$ 若一直径 $\leq D$ 且可求长维数 $n$ 的 $RCD^{\ast}(0,N)$ 空间序列 $X_i$ 满足其万有覆盖 $\tilde{X}_i$ 在点化 Gromov--Hausdorff 意义下收敛到可求长维数 $n$ 的空间 $X$，则存在 $C>0$ 使得对每个 $i$，基本群 $\pi_1(X_i)$ 包含一个指数为 $\leq C$ 的交换子群。 $\bullet$ 若一直径 $\leq D$ 且可求长维数 $n$ 的 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间序列 $X_i$ 满足其万有覆盖 $\tilde{X}_i$ 紧且在点化 Gromov--Hausdorff 意义下收敛到可求长维数 $n$ 的空间 $X$，则存在 $C>0$ 使得对每个 $i$，基本群 $\pi_1(X_i)$ 包含一个指数为 $\leq C$ 的交换子群。 $\bullet$ 若一具有第一 Betti 数 $\geq r$ 且可求长维数 $n$ 的 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间序列 $X_i$ 在 Gromov--Hausdorff 意义下收敛到可求长维数 $m$ 的紧空间 $X$，则 $X$ 的第一 Betti 数至少为 $r + m - n$。主要工具包括 Gigli 的分裂定理、Mondino--Naber 的分裂爆破性质、Wang 关于 $RCD^{\ast}(K,N)$ 空间的半局部单连通性，以及 Guijarro 与第一作者的等距群结构。