离散同伦与基本群

我们推广并加强了Gromov的一个定理：每个直径至多为D的紧黎曼流形都有一组长度至多为2D的生成元$g_1,\ldots,g_k$以及形如$g_i g_m = g_j$的关系。特别地，我们给出了生成元个数$k$的显式界，该界依赖于每一点处“短环”的数量以及覆盖给定半局部单连通测地空间所需的球数。作为推论，我们得到了一个基本群有限性定理（即使对黎曼流形也是新的），它蕴含了Anderson和Shen-Wei的基本群有限性定理。我们的定理不需要曲率界，也不需要体积或1-环的下界。我们使用了第一作者与V. N. Berestovskii引入的离散同伦方法。证明的核心是同伦临界谱的概念，它与覆盖谱和长度谱密切相关。离散方法还使我们能够加强并简化Sormani-Wei关于覆盖谱的一些结果的证明。