黎曼曲面上的单调同伦与收缩圆盘

我们证明了关于单调同伦的“粘合”定理；单调同伦是指通过简单可缩闭曲线进行的同伦，且这些曲线自身两两不相交。我们表明，两个具有适当重叠的单调同伦可以被替换为单个单调同伦。用于证明该定理的思想在 [CL2] 中被用来证明关于圈的类似结果，这构成了他们证明有限体积完备非紧流形中极小曲面存在性的关键步骤。我们还表明，如果存在单调同伦，则存在通过短曲线的定点收缩。具体而言，假设 $\gamma$ 是黎曼曲面上的一条简单闭曲线，并且存在一个单调收缩，其覆盖了由 $\gamma$ 所围成的圆盘，该圆盘由长度 $\leq L$ 的曲线组成。若 $\epsilon > 0$ 且 $q \in \gamma$，则存在一个同伦将 $\gamma$ 收缩至 $q$，该同伦经过基于 $q$ 的回路，且其长度以 $3L + 2d + \epsilon$ 为界，其中 $d$ 是曲面的直径。如果该曲面是一个圆盘，且 $\gamma$ 是该圆盘的边界，则此界限可改进为 $L + 2d + \epsilon$。