曲面上的短同伦独立圈

本文关注黎曼曲面和度量图上基于同一点的短同调和同伦独立圈。首先，我们证明对于每个亏格 $g \geq 2$ 且面积归一化为 $g$ 的闭黎曼曲面，存在至少 $\ceil{\log(2g)+1}$ 个基于同一点的同伦独立圈，其长度至多为 $C\log(g)$，其中 $C$ 为通用常数。一方面，该结果实质性地改进了 M. Gromov 在 \cite{G1} 中的定理 $5.4.A$；另一方面，它重现了 S. Sabourau 关于分离 systole 的结果 \cite{SS} 并改进了其证明。其次，我们证明对于任意两个整数 $b\geq 2$ 且 $1\leq n\leq b$，每个第一 Betti 数为 $b$ 且长度为 $b$ 的连通度量图 $\Gamma$，包含至少 $n$ 个基于同一点的同调独立圈，其长度至多为 $24(\log(b)+n)$。特别是，该结果将 Bollob\`as-Szemer\'edi-Thomason 关于同调 systole 的 $\log(b)$ 界扩展到了至少 $\log(b)$ 个基于同一点的同调独立圈。此外，我们给出了该结果最优的图的示例。