曲面嵌入图的最小圈基与同调基

我们研究寻找嵌入曲面上的无向图的最小圈基（一组构成圈空间基的最小权环）和最小同调基（生成 $1$ 维 ($\mathbb{Z}_2$)-同调类的最小权环集）的问题。这两个问题紧密相关，因为图的最小圈基包含其最小同调基，且任意图的 $1$-骨架的最小同调基恰为其最小圈基。对于最小圈基问题，我们给出了一个确定性的 $O(n^\omega+2^{2g}n^2+m)$ 时间算法，适用于嵌入亏格 $g$ 的可定向曲面上的图。已知针对曲面嵌入图的最佳现有算法是那些针对一般图的算法：一个 $O(m^\omega)$ 时间的蒙特卡洛算法和一个确定性的 $O(nm^2/\log n + n^2 m)$ 时间算法。对于最小同调基问题，我们给出了一个确定性的 $O((g+b)^3 n \log n + m)$ 时间算法，适用于嵌入具有 $b$ 个边界分支的亏格 $g$ 的可定向或非可定向曲面上的图，假设最短路径唯一，对许多 $g$ 和 $n$ 的值改进了现有算法。唯一最短路径的假设可以通过随机化以高概率避免，或通过确定性地将同调基算法的运行时间增加一个 $O(\log n)$ 因子来避免。