次二次时间内平面图的最小圈基与全点对最小割
离散数学
2009-12-08 v1
摘要
加权无向图G的最小圈基是G的圈空间的一个基，使得该基中圈的总权重最小。如果G是具有非负边权的平面图，则可以在O(n^2)时间和空间内找到这样的基，其中n是G的大小。我们表明，如果需要基的显式表示，这是最优的。然后，我们提出了一种O(n^{3/2} log n)时间和O(n^{3/2})空间的算法，该算法隐式地计算最小圈基。从这个结果中，我们获得了一个输出敏感的算法，该算法在O(n^{3/2} log n + C)时间和O(n^{3/2} + C)空间内显式计算最小圈基，其中C是基中圈的总大小（边和顶点数）。当G是无权图时，这些界分别降至O(n^{3/2} log n)和O(n^{3/2})。由于全点对最小割问题与平面图的最小圈基问题是对偶等价的，我们得到了类似的结果。我们还获得了O(n^{3/2} log n)时间和O(n^{3/2})空间的算法，分别用于寻找G的权向量和Gomory-Hu树。这两个问题之前的最佳时间和空间界是二次的。从我们的Gomory-Hu树算法中，我们得到以下结果：通过O(n^{3/2} log n)时间和O(n^{3/2})空间进行预处理，可以在常数时间内报告G的任意两个给定顶点之间的最小割的权重。以前，这样的预言机需要二次时间和空间进行预处理。该预言机还可以扩展为在与其大小成比例的时间内报告实际割。
引用
@article{arxiv.0912.1208,
title = {Minimum Cycle Basis and All-Pairs Min Cut of a Planar Graph in Subquadratic Time},
author = {Christian Wulff-Nilsen},
journal= {arXiv preprint arXiv:0912.1208},
year = {2009}
}