Baur-Strassen 定理的算法应用：最短环、直径与匹配

考虑一个边权取自集合 [-W, W] 且不包含负权环的有向或无向图。本文引入了一个利用矩阵乘法求解此类图上问题的通用框架。该框架基于 Baur-Strassen 定理和 Strojohann 行列式算法的应用。它使我们能够为以下问题提供新的且简单的解决方案：* 寻找最短环——我们给出了一个简单的 \tilde{O}(Wn^{\omega}) 时间算法，用于在无向图和有向图中寻找最短环。对于有向图（以及具有非负权重的无向图），这与 Roditty 和 Vassilevska-Williams 在 2011 年获得的时间界限相匹配。另一方面，此前对于具有负权重的无向图，尚无在 \tilde{O}(Wn^{\omega}) 时间内运行的算法已知。此外，对于给定的有向或无向图，我们的算法能够在相同的运行时间内检测其是否包含负权环。* 计算直径与半径——我们给出了一个简单的 \tilde{O}(Wn^{\omega}) 时间算法，用于计算无向或有向图的直径和半径。据我们所知，此前对于具有负权重的无向图，尚无具有此运行时间的算法已知。* 寻找最小权完美匹配——我们提出了一个 \tilde{O}(Wn^{\omega}) 时间算法，用于在无向图中寻找最小权完美匹配。这解决了 Sankowski 于 2006 年提出的一个开放问题，他此前仅针对二部图给出了此类算法。为了解决最小权完美匹配问题，我们对偶解开发了一种新颖的组合解释，为该问题提供了新的视角。这种组合解释此前未知，具有独立的意义。