打破顶点加权全局最小割的 O(mn) 时间壁垒

我们考虑全局最小顶点割问题：给定一个无向顶点加权图 $G$，计算其顶点的最小权重子集，移除这些顶点后会使 $G$ 不连通。该问题与全局最小边割密切相关，其中权重在图的边上而非顶点上，目标是计算移除后使图不连通的边的最小权重子集。全局最小割是组合优化和图论中最基本且研究最广泛的问题之一。虽然该问题的边版本已知存在近线性时间算法（Karger, STOC 1996 和 J. ACM 2000），但顶点版本的最快算法（Henzinger, Rao 和 Gabow, FOCS 1996 和 J. Algorithms 2000）的时间复杂度为 $\tilde{O}(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别表示输入图中的边数和顶点数。对于单位顶点权重的特殊情况，该界限仅在近期被打破（Li {et al.}, STOC 2021）；其结果与近期最大 $s$-$t$ 流的突破性近线性时间算法（Chen {et al.}, FOCS 2022, van den Brand {et al.}, FOCS 2023）相结合，产生了单位顶点权重的全局最小顶点割的近线性时间算法。在本文中，我们打破了 Henzinger {et al.} 关于一般加权全局最小顶点割的 28 年旧界限，提供了一个运行时间为 $O(\min\{mn^{0.99+o(1)},m^{1.5+o(1)}\})$ 的随机算法。