全局标签最小割的紧拟多项式界

我们研究经典全局最小割问题的一个推广，称为全局标签最小割（有时也称全局 hedge 最小割）：输入（多重）图的边被标记（或划分为颜色类或 hedges），移除同一标签（颜色或来自同一 hedge）的所有边代价为 1。该问题要求以最小代价断开图。虽然该问题的 $st$-割版本已知是 NP-hard 的，但上述全局割版本已知由于 Ghaffari、Karger 和 Panigrahi [SODA 2017] 而存在一个拟多项式随机化 $n^{O(\log \mathrm{OPT})}$ 时间算法。他们认为这是“该问题在 P 中的强证据”。我们表明实际并非如此。我们通过证明拟多项式运行时间可能最优来完成对全局标签最小割问题复杂性的研究：我们证明存在运行时间 $(np)^{o(\log n/ (\log \log n)^2)}$ 的算法将违背指数时间假设 (Exponential Time Hypothesis)，其中 $n$ 为顶点数，$p$ 为输入中标签数。下界的关键步骤是证明全局标签最小割在以未割标签数为参数时是 W[1]-hard 的。换言之，在需要割去几乎所有标签以断开图的 regime 下问题是困难的。为将该下界转化为拟多项式时间下界，我们还需重访 Marx [Theory Comput. 2010] 的通过以模式边数为参数的子图同构问题在指数时间假设下证明下界的框架。在此我们提供了该问题困难性的另一种简化证明，其对参数 regime 的选择更具通用性。