被遍历 $m$ 次的简单曲线之收缩的分裂

假设 $M$ 是一个二维定向黎曼流形，令 $\gamma$ 为 $M$ 上一条简单闭曲线。令 $m \gamma$ 表示将 $\gamma$ 追踪 $m$ 次形成的曲线。我们证明，若 $m \gamma$ 可通过长度小于 $L$ 的曲线同伦收缩，则 $\gamma$ 也可通过长度小于 $L$ 的曲线同伦收缩。在最后一节，我们陈述了关于在黎曼曲面上的曲线同伦中控制长度与自交个数的若干开放问题。