本质圆与覆盖的Gromov-Hausdorff收敛

我们给出了紧致测地空间X中本质圆（作者早期论文中引入）的各种应用。本质圆完全决定了X的同伦临界谱，我们证明该谱恰好是Sormani-Wei覆盖谱的2/3。我们使用有限本质圆集合定义“圆覆盖”，它推广并包含了Sormani和Wei的δ-覆盖（等价于作者的ε-覆盖）作为特例；这些构造是Berestovskii-Plaut在一致空间覆盖构造中使用的度量化改编。我们证明，与δ-覆盖和ε-覆盖不同，圆覆盖在Gromov-Hausdorff收敛意义下是封闭的，并且我们证明了关于其覆盖群的一个有限性定理，该定理对于一般覆盖映射不成立。这使我们能够完全理解δ-覆盖的Gromov-Hausdorff极限的结构。此外，我们利用本质圆加强了E. Cartan的一个定理，为半局部单连通紧致测地空间的基本群找到了一个新的（即使对于紧致黎曼流形也是新的）有限生成元集。我们猜想，在所有生成元集中，总是存在一个具有最小基数的此类生成元集。