低秩表示 I：共轭、拓扑与同调方面

在这一系列论文中，我们研究了一个有限群的性质，这些性质由其在数域 $F$ 上的低次不可约表示，即其在矩阵环 $\operatorname{M}_n(D)$（其中 $n \leq 2$）上的表示所决定。我们特别关注在 $\operatorname{M}_2(D)$ 上的表示，其中 $D$ 是一个除代数，具有一个阶 $\mathcal{O}$，使得 $\mathcal{O}$ 有有限多个单位，即 $\operatorname{SL}_2(\mathcal{O})$ 的算术秩为 $1$。在第一部分中，重点放在两个方面。一个方面涉及用 Serre 的同调良性质、小虚拟上同调维数以及高克莱因型嵌入来刻画此类表示空间。作为一个应用，我们得到了其不可约表示具有上述形式的有限群 $G$ 的若干刻画。特别地，这样的群 $G$ 恰好是那些使得 $\mathcal{U}(R G)$（其中 $R$ 是 $F$ 的整数环）可以由那些虚拟映射到非阿贝尔自由群的群构造出来的群。在此过程中，我们研究了高模群的同余子群的后者性质及其对同余核的影响。这被用来获得关于群环的单位群的同余核的新信息。第二个方面涉及 $G$ 的不可约表示下 $\mathcal{U}(R G)$ 的有限子群的像的同构类。更准确地说，我们启动了对 Zassenhaus 猜想和子群同构问题的分块变体的研究。此外，我们为上述低秩表示做出了贡献。