有限维 2-向量空间上 2-群的表示理论

本文研究任意（弱）2-群 $\mathbb{G}$ 在 Kapranov 与 Voevodsky 的（复）2-向量空间（某一版本）2-范畴上的（弱）表示所构成的 2-范畴 $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$。特别地，表示的等价类集合用分类 $\mathbb{G}$ 的不变量 $\pi_0(\mathbb{G})$、$\pi_1(\mathbb{G})$ 以及 \[\alpha\]\in H^3(\pi_0(\mathbb{G}),\pi_1(\mathbb{G})) 计算出来。同时还显式确定了态射范畴（依等价）与复合函子。作为推论，我们得到：第一同伦群 $\pi_0(\mathbb{G})$ 的线性表示（更一般地，对任意给定上同调类 \[z\]\in H^2(\pi_0(\mathbb{G}),\mathbb{C}^*) 的 \[z\]-射影表示）的幺半群范畴，以及其在有限集上的表示范畴，二者均位于 $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$ 中——前者作为平凡表示的自同态幺半群范畴（更一般地，作为适当一维表示间态射的范畴），后者作为 $\mathfrak{Rep}_{{\bf 2Mat}_{\mathbb{C}}}(\mathbb{G})$ 同伦范畴的子范畴。