关于 2-群的注记

2-群是群的一个‘范畴化’版本,其中底集合 G 被一个范畴替代,乘法映射 m: G x G -> G 被一个函子替代。这一概念的若干精确定义已被探讨,但关于它们之间关系的完整处理很难从文献中提取。在此我们描述该概念两个最重要版本之间的关系,称之为‘弱’与‘相干’2-群。弱 2-群是一个弱幺半范畴,其中每个态射有逆,且每个对象 x 有一个‘弱逆’:一个对象 y 使得 x 张量 y 与 y 张量 x 同构于 1。相干 2-群是一个弱 2-群,其中每个对象 x 配备一个指定的弱逆 x* 以及构成伴随的态射 i_x: 1 -> x 张量 x*、e_x: x* 张量 x -> 1。我们定义弱与相干 2-群的 2-范畴,并构造一个将弱 2-群变为相干 2-群的‘提升’2-函子;由此可表明这些 2-范畴是双等价的。我们还将相干 2-群的概念内部化。这给出了定义拓扑 2-群、Lie 2-群等的方式。