高维代数 V：2-群

2-群是群的“范畴化”版本，其中基础集合 G 被一个范畴替代，乘法映射被一个函子替代。这一概念的多种版本已被探讨；我们这里的目标是详细介绍两种，我们称之为“弱”2-群和“相干”2-群。弱 2-群是一个弱幺半范畴，其中每个态射有逆，且每个对象 x 有一个“弱逆”：一个对象 y 使得 x 张量 y 与 y 张量 x 同构于 1。相干 2-群是一个弱 2-群，其中每个对象 x 配备一个指定的弱逆 x* 以及同构 i_x: 1 -> x 张量 x* 和 e_x: x* 张量 x -> 1 构成一个伴随。我们描述弱 2-群与相干 2-群的 2-范畴以及一个将弱 2-群变为相干 2-群的“改进”2-函子，并证明此 2-函子是 2-范畴的一个 2-等价。我们将相干 2-群的概念内部化，这给出了定义李 2-群的快捷方式。我们给出一组例子，包括空间的“基本 2-群”以及各种李 2-群。我们还解释相干 2-群如何按群上同调中第 3 上同调类分类。最后，利用此分类，我们为任意连通单连通紧单李群 G 构造了一族 2-群 G_hbar（对 hbar 的积分值），以 G 为其对象群、以 U(1) 为其恒等对象的自同构群。这些 2-群使用 Chern-Simons 理论构建，并与一篇 companion paper 中描述的李 2-代数 g_hbar（对实 hbar）密切相关。