从圈群到 2-群

我们描述了 Lie 2-代数、圈群的 Kac-Moody 中心扩张与群 $\mathrm{String}(n)$ 之间一个有意思的关系。Lie 2-代数是 Lie 代数的范畴化版本，其中 Jacobi 恒等式在一个称为“Jacobiator”的自然同构下成立。类似地，Lie 2-群是 Lie 群的范畴化版本。若 $G$ 是单连通紧单 Lie 群，则存在一族含参数的 Lie 2-代数 $\mathfrak{g}_k$，每个都以 $\mathrm{Lie}(G)$ 为其对象 Lie 代数，但带有由 $G$ 上标准 3-形式构造的 Jacobiator。除了 $k = 0$ 外，似乎不存在以 $\mathfrak{g}_k$ 为其 Lie 2-代数的 Lie 2-群。然而在此我们为整值 k 构造了一个无限维 Lie 2-群，其 Lie 2-代数等价于 $\mathfrak{g}_k$。该 2-群的对象是 $G$ 中基于点的路径，而任一对象的自同构构成 $G$ 的圈群的水平-$k$ Kac-Moody 中心扩张。此 2-群与 $G$ 上标准 gerbe 的 $k$ 次幂密切相关。其神经给出一个拓扑群，是 $G$ 被 $K(\mathbb{Z},2)$ 的扩张。当 $k = \pm 1$ 时，此拓扑群也可由消去 $G$ 的第三同伦群得到。因此当 $G = \mathrm{Spin}(n)$ 时，它正是 $\mathrm{String}(n)$。