关于 SL$(2,\mathbb R)$ 与 SL$(2,\mathbb R)/U(1)$ 的无限秩 Lie 代数

我们构造了一种广义 Kac-Moody 代数的概念，利用从非紧致流形 ${\cal M}=$SL$(2,\mathbb R)$ 和 ${\cal M}=$ SL$(2,\mathbb R)/U(1)$ 映射到有限维简单 Lie 群 $G$ 的光滑映射。通过平坦定理和在 $L^2(\mathcal{M})$ 中识别哈密顿基两种等价方式实现该构造。我们分析了中心扩张的存在性，并识别出与 $\cal M$ 上的厄米特算符对应的中心扩张。通过检视 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 的 Clebsch-Gordan 系数，我们推导了相应广义 Kac-Moody 代数的 Lie 括号。识别了这些代数的根结构，证明了可以定义大量同时可对易的算子。此外，我们简要讨论了这些代数在超引力理论中的应用，特别是当标量场坐标化非紧致流形 $\text{SL}(2,\mathbb{R})/U(1)$ 时的情形。