洛伦兹型 Kac-Moody 代数理论

我们给出由 V. A. Gritsenko 与作者最近发展的洛伦兹型（即具有双曲广义 Cartan 矩阵）Kac-Moody 代数理论的一个变体。它与 R. Borcherds 的结果密切相关并大量使用其结果。该理论应当推广著名的有限 Kac-Moody 代数理论（即对应于正广义 Cartan 矩阵的经典半单李代数）与仿射 Kac-Moody 代数理论（对应于半正广义 Cartan 矩阵）。洛伦兹型 Kac-Moody 代数理论的主要特征为：应考虑由 Borcherds 引入的广义 Kac-Moody 代数。分母函数应为 IV 型 Hermite 对称域上的自守形式（由此类型与 Leech 格相关的首个例子由 Borcherds 发现）。Kac-Moody 代数由整双曲格 $S$ 分次。Weyl 群作用于与 $S$ 相关的双曲空间中，并具有有限（或几乎有限）体积的基本多面体 $\Cal M$ 与一个格 Weyl 向量。存在若干结果与猜想，原则上可给出所有可能出现之洛伦兹型 Kac-Moody 代数的“有限”列表。因此，该理论看上去与有限及仿射 Kac-Moody 代数理论十分相似，但却远为复杂。已获得一些关于洛伦兹型 Kac-Moody 代数的分类结果，且其中许多已被构造出来。