双曲空间上的反射群与 Lorentzian Kac--Moody Lie 代数的分母公式

这是我们 "关于算术类型的 Kac--Moody Lie 代数的讲座" \cite{25} 的继续。我们考虑双曲（即签名为 $(n,1)$）整系数双线性型 $S:M\times M \to {\Bbb Z}$（即双曲格子），反射群 $W\subset W(S)$，$W$ 的基本多面体 $\Cal M$ 以及与 $\Cal M$ 的面正交的向量集合 $P({\Cal M})\subset M$（简单根）。可构造相应的 Lorentzian Kac--Moody Lie 代数 ${\goth g}={\goth g}^{\prime\prime}(A(S,W,P({\Cal M})))$，其由 $M$ grading。我们证明 $\goth g$ 在虚根上的行为良好，其分母公式在自然域内定义且具有良好的自伪作用，当且仅当 $\goth g$ 具有称为 {\it 受限算术类型} 的性质。我们证明，每个有限生成（即 $P({\Cal M})$ 为有限）代数 ${\goth g}^{\prime\prime}(A(S,W_1,P({\Cal M}_1)))$ 可嵌入到 ${\goth g}^{\prime\prime}(A(S,W,P({\Cal M})))$ 中，该代数具有受限算术类型。因此，具有受限算术类型的 Lorentzian Kac--Moody Lie 代数是值得研究的自然类。具有受限算术类型的 Lorentzian Kac--Moody Lie 代数在分母函数上具有最佳自伪性质，当它们具有 {\it 具有格子 Weyl 向量 $\rho$} 时。具有广义格子 Weyl 向量 $\rho$ 的 Lorentzian Kac--Moody Lie 代数称为 {\it 椭圆型}。