关于算术类型的 Kac--Moody Lie 代数的一个讲座

我们定义一个不可约对称化广义 Cartan 矩阵 $A$ 以及对应的 Kac--Moody Lie 代数 ${\goth g} ^\prime (A)$ 为“算术类型”，当且仅当对于任意满足 $(\beta | \beta)<0$ 的 $\beta \in Q$，存在 $n(\beta )\in {\Bbb N}$ 以及虚根 $\alpha \in \Delta^{im}$，使得 $n(\beta )\beta \equiv \alpha \mod Ker\ (.|.)$ 在 $Q$ 上。这里 $Q$ 为根格。这是对“对称化双曲型”Kac 和 Moody 类型的推广。我们证明，对称化广义 Cartan 矩阵的算术类型可分为四类：(a) 有限型，(b) 仿射型，(c) 二元型，以及(d) 算术双曲型。最后一种类型与由有理数域定义的双曲空间上的反射生成的算术群密切相关。我们应用作者与 \'E.B. Vinberg 关于双曲空间上由反射生成的算术群的结果，来描述算术双曲类型的广义 Cartan 矩阵，并证明存在有限个算术双曲类型广义 Cartan 矩阵的系列。对于对称情况，所有这些系列都是已知的。