秩2 Kac--Moody代数的交换子关系与结构常数

我们完全确定了秩2 Kac--Moody代数 $\mathfrak{g}$ 中实根向量之间的结构常数。即使在秩2双曲情形中（根在根格上的系数随高度指数增长），我们的描述在计算上也是高效的。我们的方法是将Carter通过特特殊对寻找结构常数的方法推广到秩2 Kac--Moody情形。我们还确定了所有秩2 Kac-Moody代数中仅涉及实根向量的所有交换子关系。$\mathfrak{g}$ 的广义Cartan矩阵形如 $H(a,b)= \left(\begin{smallmatrix} ~2 & -b\\ -a & ~2 \end{smallmatrix}\right)$，其中 $a,b\in\mathbb{Z}$ 且 $ab\geq 4$。若 $ab=4$，则 $\mathfrak{g}$ 为仿射型。若 $ab>4$，则 $\mathfrak{g}$ 为双曲型。需要明确根串的知识，以及对其和为实根的实根对的刻画。我们证明若 $a$ 和 $b$ 均大于1，则实根之和不能是实根。我们确定了 $H(a,1)$（$a\geq 5$）中实根 $\beta,\gamma$ 之间的根串，并确定了集合 $(\mathbb{Z}_{\geq 0}\alpha+\mathbb{Z}_{\geq 0}\beta)\cap\Delta^{\text{re}}(H(a,b))$。我们的工具之一是对由根的子集生成的根子系统的刻画。我们对秩2 Kac--Moody根系统中的这些子系统进行了分类。我们证明每个秩二无限根系都包含由两根短单根或两根长单根生成的无限族非同构对称秩2双曲根子系统 $H(k,k)$（对某些 $k\geq 3$）。我们还证明非对称双曲根系 $H(a,b)$（$a\ne b$ 且 $ab>5$）也包含无限族非同构非对称秩2双曲根子系统 $H(a\ell,b\ell)$（对某些正整数 $\ell$）。