双曲型 Kac-Moody 群的 Twin Building 的光锥嵌入

设 A 为可对称化双曲型广义 Cartan 矩阵，其对应的 Kac-Moody 代数为 g = g(A)，伴随 Kac-Moody 群为 G = G(A)=$\langle\exp(ad(t e_i)), \exp(ad(t f_i)) \,|\, t\in C\rangle$，其中 $e_i$ 和 $f_i$ 为单根向量。设 $(B^+, B^-, N)$ 为自然关联于 G 的 twin BN-pair，$(\mathcal B^+,\mathcal B^-)$ 为对应的具有 Weyl 群 W 和自然 G 作用的 twin building，该作用保持通常的 W 值距离与余距离函数。本工作以新的几何方式将 G 的 twin building 与 Kac-Moody 代数 g 联系起来。g 的 Cartan-Chevalley 对合 $\omega$ 具有不动点实子代数 k，即 g 的“紧”（酉）实形式，且 k 包含紧 Cartan 子代数 t = k $\cap$ h。我们证明实双线性形式 $(\cdot,\cdot)$ 在 k 上是符号差为 $(1, \infty)$ 的洛伦兹形式，在 t 上是符号差为 $(1, n -1)$ 的洛伦兹形式。我们定义 $\{x\in {\rm k} \,|\, (x, x) \leq 0\}$ 为 k 的光锥，t 的光锥定义类似。设 K 为 G 的紧（酉）实形式，即 $\omega$ 提升至 G 后的不动点子群。我们构造了 G 的 twin building 到 g 的紧实形式 k 的光锥的 K 等变嵌入。我们的嵌入给出了部分 twin building 的几何模型，其中每一半由无限多个 W 镶嵌的双曲空间副本沿面超平面粘合而成。在局部上，在每个这样的面处，我们发现了由 $U(1)$ 稳定的 chamber 的 $SU(2)$ 轨道，因此由 Riemann 球面 $SU(2)/U(1)\cong S^2$ 参数化。当 n = 2 时，twin building 为 twin tree。在此情形下，我们显式构造了该嵌入，并描述了实根群在基本 twin apartment 上的作用。我们还在无穷远处构造了一个球面 twin building，并将其嵌入到光锥边界上的射线集合中。