Kac-Moody 群中反演子群的强整性

设 $A$ 为可对称化广义 Cartan 矩阵，其对应的 Kac--Moody 代数 $\frak{g}$ 定义在 ${\mathbb Q}$ 上。设 $V=V^{\lambda}$ 为可积最高权 $\frak{g}$-模，并设 $V_{\mathbb Z}=V^{\lambda}_{\mathbb Z}$ 为 $V$ 的一个 ${\mathbb Z}$-形式。设 $G$ 为相应的极小表示论 Kac--Moody 群，$G({\mathbb Z})$ 为其整子群。设 $\Gamma({\mathbb Z})$ 为 $G$ 的 Chevalley 子群，即稳定 $V$ 中格 $V_{{\mathbb Z}}$ 的子群。对 $G$ 的子群 $M$，若 $M\cap G({\mathbb Z})=M\cap \Gamma({\mathbb Z})$ 则称 $M$ 为整的；若存在 $v\in V^{\lambda}_{\mathbb Z}$ 使得对所有 $g\in M$，$g\cdot v\in V_{\mathbb{Z}}$ 蕴含 $g\in G({\mathbb{Z}})$，则称 $M$ 为强整的。我们证明 $G$ 的反演子群 $U_{(w)}$ 的强整性，其中对 $w\in W$，$U_{(w)}$ 是由被 $w^{-1}$ 翻转为负根的正实根群生成的群。我们由此证明 $G$ 的幂单子群 $U$ 中由交换实根群生成的子群的强整性。当 $A$ 的秩为 2 时，这给出子群 $U_1$ 与 $U_2$ 的强整性，其中 $U=U_{1}{\Large{*}}\ U_{2}$ 且每个 $U_{i}$ 由“一半”正实根生成。