表示论意义的双曲 Kac--Moody 群在 $\Z$ 上的唯一性

对于一个定义在含1交换环 $R$ 上的单枝双曲 Kac--Moody 群 $G=G(R)$，我们考虑一个由 Allcock 和 Carbone 得到的 $G(R)$ 有限表示到对应于具有支配整权 $\lambda$ 的可积表示 $V^{\lambda}$ 的表示论构造 $G^{\lambda}(R)$ 的映射。当 $R=\Z$ 时，我们证明该映射扩展为一个群同态 $\rho_{\lambda,\Z}: G(\Z) \to G^{\lambda}(\Z)$。我们证明映射 $\rho_{\lam,\Z}: G(\Z)\to G^{\lam}(\Z)$ 的核 $K^{\lambda}$ 位于 $H(\C)$ 中，并且若群同态 $\varphi:G(\Z)\to G(\C)$ 是单射，则 $K^{\lambda}\leq H(\Z)\cong(\Z/2\Z)^{rank(G)}$。