单连通空间的表示同调

设 $G$ 为定义在特征零的域 $k$ 上的仿射代数群。我们研究带基点的连通 CW 复形 $X$ 上平凡化于 $X$ 的基点的 G-局部系统的导出模空间。该导出模空间由仿射 DG 概型 RLoc$_G(X,*)$ 表示：我们称 RLoc$_G(X,*)$ 的结构层的（上）同调为 $X$ 在 $G$ 中的表示同调，记为 HR$_*(X,G)$。HR$_0(X,G)$ 同构于 $X$ 的基本群在 $G$ 中的表示簇 Rep$_G[\pi_1(X)]$ 的坐标环——这是一个众所周知的代数几何不变量，在拓扑中有诸多应用。当 $X$ 为单连通时似乎研究得少得多：此时 HR$_0(X,G)$ 平凡，但高阶表示同调仍是依赖于代数群 $G$ 的 $X$ 的有趣有理不变量。本文利用有理同伦论，通过 $X$ 的 Quillen 与 Sullivan 代数模型，计算任意单连通空间 $X$（有限有理型）的 HR$_*(X,G)$。当 $G$ 为约化群时，我们还计算表示同调的 $G$-不变部分 HR$_*(X,G)^G$，并研究 HR$_*(X,G)^G$ 作为分次交换代数何时为局部有限型自由的问题。该问题被证明与所谓的强 Macdonald 猜想密切相关——这是表示论中由 B. Feigin 与 P. Hanlon 于 1980 年代提出（作为猜想）、并由 S. Fishel、I. Grojnowski 与 C. Teleman 于 2008 年证明的著名结果。我们将强 Macdonald 猜想重新表述为拓扑术语，对任意复约化群 $G$ 给出使 HR$_*(X,G)^G$ 为分次对称代数的空间 $X$ 的一个简单刻画。