自由群特征簇的同伦群

设 $G$ 为连通复约化李群，$K$ 为其极大紧子群，$X$ 表示秩 $r$ 自由群的 $G$-值或 $K$-值表示的模空间。本文发展了研究这些空间及其不可约表示子空间 $Y$ 的低维同伦群的方法。我们的主要结果是：当 $G = \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 或 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 时，$X$ 的第二同伦群是平凡的。该证明依赖于奇异设定下的一种新型一般位置型结果。此结果在附录中予以证明，且可能具有独立意义。我们还获得了关于子空间 $Y$ 同伦群的新信息。Biswas 和 Lawton 近期的工作确定了广义 $G$ 下 $X$ 的基本群，而我们描述了 $Y$ 的基本群。特化到 $G = \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 的情形，我们在大范围的维数内显式计算了 $X$ 光滑轨迹的同伦群，发现它们展现出 Bott 周期性。作为我们方法（特别是我们的一般位置结果）的进一步应用，我们获得了关于 $G$ 和 $K$ 子群中心化子的新结果，这是受 Sikora 的一个问题所启发。此外，我们利用 Richardson 的工作解决了 Florentino-Lawton 关于 $X$ 奇异轨迹的猜想，并给出了一个拓扑学证明：对于 $G= \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$ 或 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$，当 $r>3$ 且 $n=2$ 时，空间 $X$ 不是有理 Poincaré 对偶空间。