子例外表示序列上的局部上同调

我们考虑源自 Freudenthal-Tits 魔方第三行的四个子例外表示；使用 Bourbaki 记号，这些对应于 $(C_3, \omega_3),\, (A_5, \omega_3), \, (D_6, \omega_5)$ 和 $(E_7, \omega_6)$ 的基本表示 $(G',X)$。在这四种情形中，群 $G=G'\times \mathbb{C}^*$ 作用于 $X$ 具有五个轨道，且许多不变量表现出一致的行为，例如轨道的维数、它们的定义理想以及它们作为 $G$-模的坐标环的特征。在本文中，我们确定了一些更精细的不变量并分析了它们在该序列内的一致性。我们将 $G$-等变凝聚 $\mathcal{D}_X$-模的范畴描述为带关系的箭图表示范畴。我们显式构造了简单的 $G$-等变 $\mathcal{D}_X$-模并计算了它们底层 $G$-结构的特征。我们确定了以轨道闭包为支撑的局部上同调群，确定了它们精确的 $\mathcal{D}_X$-模结构。作为推论，我们计算了轨道闭包的交上同调群与 Lyubeznik 数。虽然我们对 $(A_5, \omega_3), \, (D_6, \omega_5)$ 和 $(E_7, \omega_6)$ 情形的结果仍完全统一，但 $(C_3, \omega_3)$ 情形表现出令人惊讶的不同行为。我们给出此现象的两点解释：一是拓扑的，因 $(C_3, \omega_3)$ 的中间轨道非单连通；二是几何的，因该轨道的闭包非 Gorenstein。