循环 p-群全形上的有理与拟置换表示

对有限群 $G$，令 $p(G)$ 表示 $G$ 的忠实置换表示的最小次数。用 $\mathbb{C}$ 与 $\mathbb{Q}$ 上的拟置换矩阵实现 $G$ 的忠实表示的最小次数分别记为 $c(G)$ 与 $q(G)$。一般有 $c(G)\leq q(G)\leq p(G)$，且任一不等式均可严格成立。本文研究群 $G =$ Hol$(C_{p^{n}})$ 的表示理论，即阶为 $p^n$（$p$ 为素数）的循环群的全形。当 $p$ 为奇数时该群为亚循环群，当 $p=2$ 且 $n \geq 3$ 时为亚阿贝尔但非亚循环群。我们明确描述了 $G$ 在复数域 $\mathbb{C}$ 上所有不可约表示的同构类型集合，以及在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的同构类型。我们计算了 $G$ 的有理群代数的 Wedderburn 分解。利用 $G$ 在 $\mathbb{C}$ 与 $\mathbb{Q}$ 上不可约表示的描述，我们证明对任意素数 $p$ 有 $c(G) = q(G) = p(G) = p^n$。证明在 $p$ 为奇数与 $p=2$ 的情形下常有所不同。