关于有限群中 $p$-元素的比例及一个模 Jordan 型定理

1878年，Jordan证明：若有限群 $G$ 在 $\mathbb{C}$ 上有一个维数为 $n$ 的忠实表示，则 $G$ 有一个指数为 $n$ 的函数的正规阿贝尔子群。若以正特征域替代 $\mathbb{C}$，由于存在大型幂单和/或李型子群，同一结果不再成立。因此，群与表示论中一个长期存在的问题是寻找Jordan定理在特征 $p>0$ 下的“正确类比”。已在多个方向取得进展，最著名的有1966年Brauer与Feit、2008年Collins以及2011年Larsen与Pink的工作。考虑到Steinberg 1968年定理（表明李型单群中显著比例的元素是幂单的），我们在本文证明：若有限群 $G$ 在特征 $p$ 的域上有一个忠实表示，则 $G$ 中显著比例的元素必具有 $p$-幂阶。我们对置换群证明类似结果，并给出一种计算有限群中 $p$-元素的一般方法。我们所有结果均为最佳可能。