扭曲表示环与 Dirac 归纳

推广扭曲等变 $K$-理论的思想，我们构造了 Lie 超代数与 Lie 超群的表示环的扭曲版本，其由具有给定上循环的投射 $\Z_{2}$-分次表示构成。随后我们研究这些表示环（及其完备化）上由 Lie 超代数与 Lie 超群的同态所关联的拉回与推前映射。作为一个应用，我们考虑 Lie 超群 $\Pi (T^{*}G)$，它由紧 Lie 群的余切丛并将其纤维的奇偶性反转而得。包含 $H \hookrightarrow G$ 诱导出从 $\Pi(T^{*}H)$ 的扭曲表示环到 $\Pi(T^{*}G)$ 的扭曲表示环的同态，该同态通过 Thom 同构的代数版本拉回，给出从 $K_{H}(\mathrm{pt})$ 到 $K_{G}(\mathrm{pt})$（可能带扭曲）的加性同态。我们进而证明此同态实为 Dirac 归纳，它将 $H$-模 $U$ 映为 Dirac 算子 $\dirac \otimes U$ 在齐性空间 $G/H$ 上取值于由 $U$ 诱导的齐性丛的 $G$-等变指标。