李群胚的拟微分演算、扭曲 gerbe 与扭曲指标理论

本文的目标是构造一种演算，其高阶指标自然是李群胚的扭曲 K 理论群中的元素。给定李群胚 $G$ 和一个 $PU(H)$ 值的群胚上闭链，我们构造了一个投影拟微分算子代数。正则化子代数与相伴扭曲 gerbe 的自然相伴光滑卷积代数相一致。我们发展了相伴的符号演算、符号短正合列以及拟基本解的存在性。特别地，投影算子代数表现为扭曲符号代数的一个量化。正如它所包含的（非扭曲）李群胚情形，负阶算子扩展到扭曲 $C^*$-代数，而零阶算子作为其上的有界乘子作用。我们通过相应的拟微分扩张以经典方式得到了扭曲 K 理论中的解析指标态射。我们证明该指标态射仅依赖于上闭链的同构类，即依赖于 $H^1(G;PU(H))$ 中作为相伴类的扭曲。我们还展示了这个扭曲解析指标态射与我们先前与 Bai-Ling Wang 合作通过 Connes 切群胚构造的指标相容，从而得到扭曲纵向 Connes-Skandalis 指标定理在投影拟微分算子与椭圆性意义上的解析解释。我们的构造包含并统一了文献中先前处理的若干情形，我们在最后一节讨论了我们设定所统一的几类算子的例子。