Kac-Moody 群的分解

设 $G$ 为定义在 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上的分裂（极小）Kac-Moody 群，具有极大环面 $T$，并设 $\theta$ 为 $G$ 的 Cartan-Chevalley 对合，经复共轭扭曲，且满足 $\theta(T)=T$。进一步，设 $K$ 为 $\theta$ 固定的子群，且 $\tau:G\to G, g\mapsto g\theta(g)^{-1}$。令 $A:=\tau(T)$。在本笔记中，我们分别展示/重新审视了 $G$ 容许一个（精细化的）Iwasawa 分解 $G=UAK$。我们还证明，如果 $G$ 是非球型，则它既不容许极分解 $G=\tau(G)K$，也不容许 Cartan 分解 $G=KAK$。这对 Kac-Moody 对称空间 $G/K \cong \tau(G)$ 的几何结构具有启示意义。