L*-群的 Mostow 分解定理及其在仿射余伴随轨道与稳定流形上的应用

Mostow 分解定理是极分解的一个精细化。它表述如下。设 $G$ 为紧连通半单李群，其李代数为 $\mathfrak{g}$。给定 $\mathfrak{g}$ 的一个子空间 $\mathfrak{h}$，使得对所有 $X, Y \in \mathfrak{h}$ 有 $[X, [X, Y]] \in \mathfrak{h}$，则复化群 $G^C$（李代数为 $\mathfrak{g} + i\mathfrak{g}$）同胚于乘积 $G \cdot \exp i\mathfrak{m} \cdot \exp i\mathfrak{h}$，其中 $\mathfrak{m}$ 是 $\mathfrak{h}$ 在 $\mathfrak{g}$ 中关于 Killing 型的正交补。该定理与正定对称矩阵非正曲率空间的几何性质及其测地子空间的一个刻画相关。Mostow 给出的原证明使用了 $G$ 的紧性。我们给出利用李代数 $\mathfrak{g}$ 的完备性来证明该定理的方法，从而可将其应用于任意维的 L*-群。给出了该定理在稳定流形与仿射余伴随轨道几何中的一些应用。