点集的剥除序列最小数目

设 $P$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中一般位置的 $n$ 个点集。我们逐个移除所有点，每步擦除当前剩余集凸包的一个顶点。令 $g_d(P)$ 表示以此方式擦除 $P$ 所有点时可获得的不同移除顺序数，令 $g_d(n)$ 为对所有 $n$ 元点集 $P\subset \mathbb{R}^d$ 取 $g_d(P)$ 的\emph{最小值}。Dumitrescu 与 T\'oth 证明了 $g_d(n)=(d+1)^{(d+1)^2n}$。我们大幅改进其界，证明 $g_d(n)= O((d+d\ln{(d)})^{(2+\frac{(d-1)}{\lfloor d\ln{d}\rfloor})n})$。由此可知，对任意 $\epsilon>0$，存在足够高维的点集 $P\subset \mathbb{R}^d$ 满足 $g_d(P)\leq O(d^{(2+\epsilon)n})$。这几乎弥合了对于大 $d$ 值的上界与已知最佳下界 $(d+1)^n$ 之间的差距。