不由其 X 射线确定的最小点集

设 $F$ 为 $\mathbb{K}^d$ 中的一个 $n$ 点集，其中 $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{Z}\}$ 且 $d\geq 2$。$F$ 在方向 $s$ 上的（离散）X 射线给出了 $F$ 在每条平行于 $s$ 的直线上的点数。我们将 $\psi_{\mathbb{K}^d}(m)$ 定义为最小的数 $n$，使得存在 $m$ 个方向 $s_1,...,s_m$（两两线性无关且张成 $\mathbb{R}^d$），从而在 $\mathbb{K}^d$ 中存在两个 $n$ 点集在这些方向上具有相同的 X 射线。文献中多次观察到界 $\psi_{\mathbb{Z}^d}(m)\leq 2^{m-1}$。在本注记中，我们证明了对于 $\varepsilon>0$，有 $\psi_{\mathbb{K}^d}(m)=O(m^{d+1+\varepsilon})$。对于 $\mathbb{K}^d=\mathbb{Z}^d$ 和 $\mathbb{K}^d=\mathbb{R}^d$ 且 $d>2$ 的情况，这是首个关于 $\psi_{\mathbb{K}^d}(m)$ 的关于 $m$ 的多项式上界。作为推论，我们导出了经典和二维 Prouhet-Tarry-Escott 问题解的大小的界。此外，我们建立了 $\psi_{\mathbb{K}^d}$ 的下界，使我们能够证明针对 $\mathbb{Z}^2$ 中点的 R\'enyi 定理的加强版本。