在线Erdős-Szekeres问题

1935年，Erdős和Szekeres证明了$(m-1)(k-1)+1$是平面上必定包含$m$个点的递增子集或$k$个点的递减子集(按$x$坐标排序)所需的最少点数。我们从在线博弈的角度考虑他们的结果：令点逐个确定，玩家A先确定$x$坐标，然后玩家B确定$y$坐标。使得玩家A能够迫使出现$m$个点的递增子集或$k$个点的递减子集的最少点数是多少？我们将其引入为在线Erdős-Szekeres数，记为$\text{ESO}(m,k)$。我们观察到对于$m,k \ge 3$有$\text{ESO}(m,k) < (m-1)(k-1)+1$，给出了$\text{ESO}(m,k)$的一般下界，并确定了$\text{ESO}(m,3)$直至一个加性常数。