关于星形与 Steiner 星形 II

对于 $\RR^d$ 中由 $n$ 个点组成的集合 $P$，{\em Steiner 星形}将任意中心点连接到 $P$ 的所有点，而 {\em 星形}则将 $P$ 中的某一点 $p$ 连接到 $P$ 中剩余的 $n-1$ 个点。所有连接均通过直线段实现。Fekete 和 Meijer 表明，对于 $\RR^d$ 中的任何有限点构型，最小星形的长度至多是最小 Steiner 星形长度的 $\sqrt{2}$ 倍。在所有 $\RR^d$ 中的有限点构型上，两者之间的最大比率称为 $\RR^d$ 中的 {\em 星形 Steiner 比率}。据猜想，该比率在平面上为 $4/\pi = 1.2732...$，在三维空间中为 $4/3=1.3333...$。本文给出了平面上为 1.3631、三维空间中为 1.3833 的上界，从而显著改进了近期分别为 1.3999 和 $\sqrt{2}-10^{-4}$ 的上界。我们的结果还意味着改进了二维和三维空间中最小星形与最大匹配之间最大比率的上界。