平面上的欧几里得最大匹配---从局部到全局

设$M$为平面上一组点的完全匹配，其中每条边都是连接两个点的线段。若$M$是所有点的 maximum-length matching，则称为$M$是全局最大匹配。若对$M$的任意$k$条边子集$M'=\{a_1b_1,\dots,a_kb_k\}$，都有$M'$是点集合$\{a_1,b_1,\dots,a_k,b_k\}$上的 maximum-length matching，则称为$M$是$k$局部最大匹配。我们证明局部最大匹配是全局最大匹配的良好近似。设$\mu_k$为所有有限平面点集中，任意$k$局部最大匹配长度与任意全局最大匹配长度之比的下确界。已知$\mu_k\geqslant \frac{k-1}{k}$对任意$k\geqslant 2$均成立。我们给出$k\in\{2,3\}$的改进界：$\sqrt{3/7}\leqslant\mu_2< 0.93$且$\sqrt{3}/2\leqslant\mu_3< 0.98$。我们还证明，每对相互相交的匹配都是唯一的且为全局最大。为了证明$\mu_2$的下界，我们给出一个独立感兴趣的结果：若将两两相交圆盘的半径按比例$2/\sqrt{3}$放大，则这些圆盘存在公共交点。