相容几何匹配

本文研究非交叉几何完美匹配。若两个这样的完美匹配具有相同的顶点集且它们的并集也是非交叉的，则称它们是\emph{相容}的。我们的第一个结果表明，对于同一组 $n$ 个点的任意两个完美匹配 $M$ 和 $M'$，存在某个 $k\in\Oh{\log n}$ 以及一个完美匹配序列 $M=M_0,M_1,...,M_k=M'$，使得每个 $M_i$ 都与 $M_{i+1}$ 相容。这改进了此前 $k\leq n-2$ 的最佳界限。随后，我们研究如下猜想：\emph{任何具有偶数条边的完美匹配都存在一个边不相交的相容完美匹配}。我们引入了一系列更强的猜想来蕴含该猜想，并证明了其中最强的猜想在由垂直和水平线段组成的完美匹配情形下成立。最后，我们证明了任何具有 $n$ 条边的完美匹配都存在一个具有约 $4n/5$ 条边的边不相交相容匹配。