数字 Kronecker 序列稀疏子序列的度量星偏差界与多项式可处理性

星偏差 $D_N^*(\mathcal{P})$ 是多维单位立方体中有限点集 $\mathcal{P}$ 分布不规则性的定量度量，它与拟蒙特卡洛算法的积分误差密切相关。已知对于每个整数 $N \ge 2$，在 $[0,1)^d$ 中存在点集 $\mathcal{P}$，满足 $|\mathcal{P}|=N$ 且 $D_N^*(\mathcal{P}) =O((\log N)^{d-1}/N)$。然而，当 $N$ 相对于维数 $d$ 较小时，这一渐近优良的界是无用的（例如对于 $N \le {\rm e}^{d-1}$）。Heinrich、Novak、Wasilkowski 和 Wo\'{z}niakowski 于 2001 年证明，对于每个整数 $N \ge 2$，在 $[0,1)^d$ 中存在点集 $\mathcal{P}$，满足 $|\mathcal{P}|=N$ 且 $D_N^*(\mathcal{P}) \le C \sqrt{d/N}$。尽管该上界在 $N$ 的渐近意义上并非最优，但其对维数 $d$ 的依赖性要好得多（甚至是最优的）。遗憾的是，Heinrich 等人及其他作者后来的变体结果纯属存在性结果，迄今为止尚不知晓具有上述性质的点集的显式构造。最近，L"obbe 研究了 Kronecker $(n \boldsymbol{\alpha})$ 序列的稀疏子序列，并证明了形式为 $C \sqrt{d (\log d)/N}$ 的度量偏差界，其中隐含的绝对常数 $C>0$ 独立于 $N$ 和 $d$。本文针对数字 Kronecker 序列展示了相应的结果，后者是经典 Kronecker 序列的非阿基米德类比。