星偏差问题的逆问题与伪随机数的生成

星偏差问题的逆问题旨在寻找 $s$ 维单位立方体 $[0,1]^s$ 中大小为 $N$ 的点集 $P_{N,s}$，使其星偏差 $D^\ast(P_{N,s})$ 满足 $$D^\ast(P_{N,s}) \le C \sqrt{s/N},$$ 其中 $C> 0$ 是一个独立于 $N$ 和 $s$ 的常数。Heinrich、Novak、Wasilkowski 和 Wo\'{z}niakowski 于 2001 年首次证明了此类方向的存在性结果，此后又展示了许多改进。迄今为止，仅已知此类点集存在的证明。由于此类点集在应用中非常有用，当前的重大开放问题是寻找合适点集 $P_{N,s}$ 的显式构造。我们回顾了该问题的最新研究现状，并指出了其与伪随机数生成器的一些联系。