星偏差逆下界的一个初等证明

偏差理论中的一个核心问题是如何在 $[0,1]^d$ 中均匀布点 $\left\{x_1, \dots, x_n \right\}$。假设一个点集如此规则，以至于对某个 $\varepsilon> 0$ 及所有 $y \in [0,1]^d$，子区域 $[0,y] = [0,y_1] \times \dots \times [0,y_d]$ 中所含点数近乎与其体积成正比，且 $$\forall~y \in [0,1]^d \qquad \left| \frac{1}{n} \# \left\{1 \leq i \leq n: x_i \in [0,y] \right\} - \mbox{vol}([0,y]) \right| \leq \varepsilon,$$ 那么根据 $d$ 与 $\varepsilon$，$n$ 必须多大？我们给出了由 Hinrichs 得到的当前已知最佳结果的初等证明，表明 $n \gtrsim d \cdot \varepsilon^{-1}$。