稀疏点集的概率星偏差界
概率论
2014-08-12 v1
摘要
根据 Heinrich、Novak、Wasilkowski 和 Woźniakowski 的结果，星偏差的逆 n(d,ε) 满足 n(d,ε)≤c_abs d ε^{-2}。等价地，对任意 N 和 d，存在 [0,1)^d 中 N 个点的集合，其星偏差以 √(c_abs·d/N) 为界。他们实际上证明了一组独立均匀分布的随机点以正概率满足这个上界。尽管 Aistleitner 和 Hofer 后来通过证明取决于不等式成立概率的 c_abs 精确值改进了这个结果，但到目前为止还没有已知的通用构造来得到这样的点集。在本文中，我们考虑序列 (x_n)_{n≥1}=(⟨2^{n-1}x_1⟩)_{n≥1}，其中 x_1∈[0,1)^d 均匀分布，并证明星偏差以 C√(d log_2 d / N) 为界。C 的精确值取决于这个上界成立的概率。
引用
@article{arxiv.1408.2220,
title = {Probabilistic Star Discrepancy Bounds for Lacunary Point Sets},
author = {Thomas Löbbe},
journal= {arXiv preprint arXiv:1408.2220},
year = {2014}
}