数字序列星偏差的度量下界

本文研究了素数阶有限域上数字序列的一致分布性质。Larcher 于 1998 年证明，对于几乎所有的$s$维数字序列，其星偏差$D_N^\ast$满足形式为$D_N^\ast=O((\log N)^s (\log \log N)^{2+\varepsilon})$的上界（对任意$\varepsilon>0$）。一般而言，获取特定序列的良好下界比获取上界要困难得多。在此我们表明，Larcher 的结果在相差某个$\log \log N$项的意义下是最优的。更具体地，我们证明了对于几乎所有的$s$维数字序列，其星偏差满足$D_N^\ast \ge c(q,s) (\log N)^s \log \log N$（对无穷多个$N \in \NN$），其中$c(q,s)>0$仅依赖于$q$和$s$而与$N$无关。