数字序列的偏差：关于一个经典 QMC 课题的新结果

数字序列理论是 QMC（拟蒙特卡洛）理论中的基础课题。数字序列是具有低偏差的序列原型。首批例子由伊利亚·梅耶罗维奇·索博尔与亨利·福尔以其著名构造给出。统一理论后来由哈拉尔德·尼德赖特发展。如今已有大量数字序列的例子，并且如下是经典知识：此类序列前 $N$ 个元素的星偏差可达到 $(\log N)^s/N$ 阶的速率，其中 $s$ 表示维数。另一方面，除基于星偏差的显然估计外，关于有限 $p$ 下数字序列偏差函数的 $L_p$ 范数所知甚少。本文综述了关于数字序列各类偏差的一些近期结果。这包括：星偏差与加权星偏差、$L_p$ 偏差、关于有界平均振荡与指数 Orlicz 范数的偏差，以及具有主导混合光滑性的 Sobolev、Besov 与 Triebel-Lizorkin 范数。