二维数字网在最优阶 $L_p$ 偏差下的性质

我们研究二维数字网在有限 $p$ 下的 $L_p$ 偏差。2001 年，Larcher 与 Pillichshammer 确定了一类数字网，其按 Davenport 意义对称的版本具有 $\sqrt{\log N}/N$ 阶的 $L_2$ 偏差，由于 Roth 的著名结果，这是可能达到的最优阶。然而，该偏差界是否对未经任何修改的原始数字网也成立，一直悬而未决。在本文中，我们从上述类中识别出一些网，对于这些网，对称化并非必要，即可对所有 $p \in [1,\infty)$ 达到 $L_p$ 偏差的最优阶。我们的发现与 Bilyk 于 2013 年的一篇论文精神一致，该文考虑了由元素 $(k/N,\{k \alpha\})$（$k=0,1,\ldots,N-1$）构成的格点的 $L_2$ 偏差，并给出了保证 $L_2$ 偏差最优阶的 $\alpha$ 的丢番图性质。