$L_2$ discrepancy of symmetrized generalized Hammersley point sets in base $b$

获得具有 $L_p$ 偏差最优阶的二维点集两种流行且常用的方法是数字置乱和对称化。本文将这两种技术结合，对使用任意置换置乱的 $b$-adic Hammersley点集进行对称化。已知这些修正确实保证了 $L_p$ 偏差具有最优阶 $\mathcal{O}\left(\sqrt{\log{N}}/N\right)$（对于 $p\in [1,\infty)$），而经典Hammersley点集则不然。我们证明了针对特殊置换的这些点集的 $L_2$ 偏差的精确公式。我们还通过采用计算机搜索算法，给出了对于每个基 $b\in\{2,\dots,27\}$ 导致最低 $L_2$ 偏差的置换。